TÉCNICAS DE CONTEO
El principio fundamental en el proceso
de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos
de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de
conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de
cuantificar.
Si un evento A puede ocurrir de n1
maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras
diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos
pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a
n1 x n2.
Las Técnicas
de conteo son utilizadas en Probabilidad y Estadística para
determinar el número total de resultados.
DIAGRAMA DE ÁRBOL.
Un diagrama
de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos
los posibles resultados de un experimento aleatorio. El diagrama de árbol es una
representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual
consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito
de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para
cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de esta
ramas se conoce como rama de primera generación En el final de cada rama de
primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas
conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del
siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento
(nudo final). Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no
depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de
cada rama de primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de
cada nudo ha de dar 1.
Ventajas
- Exhorta
a los integrantes del equipo a ampliar su modo de pensar al crear soluciones.
- Mantiene
a todo el equipo vinculado a las metas y sub-metas generales de una tarea.
- Mueve
al equipo de planificación de la teoría al mundo real.
Beneficios
- Permite
obtener una visión de conjunto del objeto de estudio.
- Permite
identificar los medios necesarios para alcanzar una meta o resolver un
problema.
- Permite
identificar las causas primarias y secundarias de un problema y asignar
prioridades al momento de resolver un problema.
- Permite
entender la relación causa – efecto de los problemas.
- Permite identificar los objetivos las metas de cada tarea
EJEMPLO:
Un
ejemplo sencillo del diagrama de árbol es el siguiente.
Calcular la probabilidad de
que al arrojar al aire tres monedas, salgan:
Tres caras.
sabemos que la moneda tiene 2
caras por lo tanto al arrojarla al aire cada moneda tiene la probabilidad de
que salga cara 1/2 razon por la cual colocaremos ½ sobre la rama.
Después de graficar las tres
monedas multiplicamos sus probabilidades como se muestra a continuación:
Como podemos apreciar el
resultado final es 1/8 y esa sería la probabilidad de que obtengamos las tres
monedas en cara.
Biografia:
Permutaciones y Combinaciones
Permutación
Son eventos de tipo multiplicativo, donde el número de posibilidades va disminuyendo y si importa el orden una permutación es un arreglo de un conjunto de objetos en un orden definido. El número de permutaciones diferentes de estos objetos es ; esto se vé fácilmente si pensamos que para la primera alternativa disponemos de los elementos del conjunto, cada uno de los cuales puede complementarse con los restantes como segunda opción, y así hasta llegar a la última elección, conformando el producto .
El número de permutaciones posibles al tomar objetos del conjunto de elementos será, siguiendo el mismo razonamiento.
Permutaciones con repetición
PERMUTACIONES de m elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :
Sí entran todos los elementos
Sí importa el orden
Sí se repiten los elementos
PERMUTACIONES CIRCULAR
Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.
EJEMPLO:
Permutaciones repetición
Las permutaciones
sin repetición Pm son los distintos grupos de m elementos
diferentes tomados de m en m. Intervienen todos
los elementos.
-No se pueden
repetir.
-Influye el orden en
el que se coloca.
ejemplo
or ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Principio multiplicativo y adictivo
principio multiplicativo
Ejemplos:
1) Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir paredes = 3
N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
Principio adictivo
Se utiliza el principio aditivo si un número se obtiene sumando el valor de los símbolos que lo componen.
Ejemplo: En la numeración maya se sigue el principio aditivo porque para saber el valor del número, se suman los valores de los signos como puedes ver en la siguiente imagen.
El punto vale 1, para representar el 4 pongo cuatro veces el punto, es decir, sumo 1 + 1 +1 + 1 = 4. La raya vale 5. Para representar el diez, escribo dos rayas, es decir, sumo 5 + 5 = 10
EVENTOS
Son los resultados posibles que presentan una condición dada al realizar un experimento. Cada resultado posible lo constituye el elemento o suceso.
Al universo se le llama espacio muestral, a los subconjuntos eventos, a los puntos en el conjunto, eventos simples o sucesos.
Experimento: Es un conjunto de pruebas o la relación de un proceso que conduce a un resultado y observación del cual no se está seguro.
Espacio muestral:para un experimento, es el conjunto de todos los resultados posibles.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Son aquellos donde la ocurrencia de uno de ellos excluye la posibilidad de ocurrencia del otro, esto es, no pueden ocurrir juntos.
Un evento mutuamente excluyente se identifica en un experimento cuando se utiliza el conectivo o, que se refiere a la unión de eventos.
Formula:
p/e: los eventos A Y B subconjuntos del espacio muestral E de cierto experimento aleatorio son mutuamente excluyentes si y solo si:
A n B=Ø
EVENTOS INDEPENDIENTES
Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del segundo evento.Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.
P(A y B)=P (A) *P (B)
Probabilidad conjunta:Se define como la probabilidad de que dos o mas eventos se presenten juntos o en secesión, es decir la P(A Y B).
La probabilidad de que dos o mas eventos independientes se presenten juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales.
P(AnB)=P(A) P(B)
Probabilidad condicional:Sean A y B dos eventos independientes, entonces, la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió, se denomina probabilidad condicional de A dado B, denotada por P (A/B)
P(A/B))P(A)
EVENTOS DEPENDIENTES
Dos eventos son dependientes, si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento, así que la probabilidad es cambiada.
Probabilidad condicional:Sean A y B dos eventos estadísticamente dependientes, entonces, la probabilidad condicional de A dado B, denotado por P(A/B), es la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió.
P(A/B)=P(AnB)
P(B)
P(A/B)=Probabilidad de que ocurra el evento A, dado que el evento B ya ocurrió.
P(AnB)=Probabilidad de que ocurra A y B.
P(B)=Probabilidad de que ocurra el evento B.
https://repostiorg.uaech.edu.mx
https://tarwi.lamolina.edu.pe/~cgonzales/pdf/Estadistica%20General/probab.pdf
CONJUNTOS
Es la agrupación de elementos que poseen una o varias características en común.
Un conjunto puede describirse enumerando todos sus elementos. Por ejemplo,
S = {1, 3, 5, 7, 9}.
«S es el conjunto cuyos elementos son 1, 3, 5, 7 y 9». Los cinco elementos del conjunto están separados por comas y se listan entre llaves.
Se utilizan letras del abecedario para identificar cada conjunto.
Para calcular un conjunto con diferentes características tenemos a la unión y la intersección:
UNIÓN
Son los conjuntos A Y B que se unen sin repetirse y se representan con U.
INTERSECCIÓN
Son los conjuntos que se repiten y se representan con ∩.
EJEMPLO:
A:{1,2,3,4,5,6}
B:{2,4,6,8,10}
C:{5,6,7,8,9}
Hallar:
*(AUB)∩C : {5,6,8}
*(B∩C) U (A∩B): {2,4,6,8}
*(A∩B) UC: {2,4,5,6,7,8,9}
*(A∩B) ∩ (BUC): {2,4,5,6,7,8,9,10}
OPERACIONES COMBINADAS
Estas operaciones se pueden extender a más de dos conjuntos y, además, se pueden combinar.
Además cuentan con dos elementos nuevos:
´: Complemento
U: Conjunto universal
Se realiza lo mismo que lo anterior, solo que con dos elementos nuevos.
Por ejemplo:
U={a,b,c,d,e,f,g}
A= {a,b,c,d}
B= {a,c,e,g}
C= {b,e,f,g}
1.- A´- B= A´{e,f,g}= {f}
2.- (A-C)´= A(a,b,c,d}-{b,e,f,g}= (A-C)={a,c,d}= {b,e,f,g}
3.- (B´UC)´= B´(b,d,f)UC= {b,d,e,f,g}={a,c}
DIAGRAMA DE VENN
Un diagrama de Venn es un diagrama que muestra visualmente todas las posibles relaciones lógica entre una colección de conjuntos, cada uno representando con un círculo.
Cada conjunto es una colección de objetos o una matriz de datos que tienen algo en común. Cuando se superponen varios círculos (conjuntos), se conoce como intersección - es donde los datos tienen todas las cualidades. Muestran las relaciones incluso si un conjunto está vacío.
Los diagramas de Venn permiten a los usuarios visualizar los datos de forma clara y con gran alcance y, por este motivo, se utilizan comúnmente en presentaciones e informes.
Simbología
Ejemplo:
Partes de un diagrama:
Objetos considerados en los diagramas:
INTERSECCIÓN:
Son los elementos que tienen en común los conjuntos
INCLUSIÓN:
Dos conjuntos, cuando la plenitud de los elementos de uno de ellos se encuentra incluido en el otro, es decir, que es un subconjunto.
DISYUNCIÓN
Dos conjuntos en donde no pueden hallarse elementos que resulten comunes a ambos.
COMPLEMENTO:
El complemento absoluto de un conjunto es todo lo que no está incluido en el conjunto. Esto significa que dado un universo (U, en este caso la letra), todo lo que está en el universo, excepto A, es el complemento absoluto de A en U.
En los siguientes vídeos se muestran ejemplos paso a paso acerca del diagrama de Venn.
Fuentes:
https://www.lucidchart.com/pages/es/que-es-un-diagrama-de-venn
https://www.docsity.com/es/simbologia-del-diagrama-de-venn/605377/
https://datavizcatalogue.com/ES/metodos/diagrama_de_venn.html
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